Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，過F的直線l交C于A，B兩點，交x軸于點D，B到x軸的距離比|BF|小1．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若S△BOF=S△AOD ， 求l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解法一：拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F（0， ），C的準線方程為 ， 由拋物線的定義，可知|BF|等于點B到C的準線的距離．
又因為點B到x軸的距離比|BF|小1，
所以點B到x軸的距離比點B到拋物線準線的距離小1，
故 ，解得p=2，
所以C的方程為x2=4y．
解法二：C的焦點為 ，
將 代入x2=2py，得x=p或x=﹣p，故 ，
因為點B到x軸的距離比|BF|小1， ，即 ，
解得p=2，所以C的方程為x2=4y，
經檢驗，拋物線的方程x2=4y滿足題意．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得C的焦點為F（0，1），設直線l的方程為y=kx+1（k≠0），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．則 ．
聯立方程組 消去y，得x2﹣4kx﹣4=0．
△=（﹣4k）2﹣4×1×（﹣4）=16k2+16＞0，
由韋達定理，得x1+x2=4k，x1x2=﹣4．
設點O到直線l的距離為d，則 ， ．
又S△BOF=S△AOD ， 所以|BF|=|AD|．
又A，B，D，F在同一直線上，所以 ，即 ，
因為 ，
所以 ，整理，得16k4+16k2﹣1=0，
故 ，解得 ，
所以l的方程為
【解析】（Ⅰ）解法一：由拋物線的焦半徑公式，點B到x軸的距離比點B到拋物線準線的距離小1， ，即可求得p的值，求得拋物線方程； 解法二：將 代入x2=2py，得x=p或x=﹣p，故 ，由點B到x軸的距離比|BF|小1， ，即 ，即可求得p的值，求得拋物線方程；（Ⅱ）設直線l的方程，代入拋物線方程，由S△BOF=S△AOD ， 則|BF|=|AD|．利用韋達定理可得： ，即 ，則兩邊平方，即可求得k的值，求得直線l的方程．