Question

【題目】對于數(shù)列， ， ， ，若滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．

若存在一個正整數(shù)，若數(shù)列中存在連續(xù)的項和該數(shù)列中另一個連續(xù)的項恰好按次序?qū)��?yīng)相等，則稱數(shù)列是“階可重復(fù)數(shù)列”，

例如數(shù)列因為， ， ， 與， ， ， 按次序?qū)��?yīng)相等，所以數(shù)列是“階可重復(fù)數(shù)列”．

（I）分別判斷下列數(shù)列， ， ， ， ， ， ， ， ， ．是否是“階可重復(fù)數(shù)列”？如果是，請寫出重復(fù)的這項；

（II）若項數(shù)為的數(shù)列一定是 “階可重復(fù)數(shù)列”，則的最小值是多少？說明理由；

（III）假設(shè)數(shù)列不是“階可重復(fù)數(shù)列”，若在其最后一項后再添加一項或，均可 使新數(shù)列是“階可重復(fù)數(shù)列”，且，求數(shù)列的最后一項的值．

Answer 1

【答案】（I）；（Ⅱ） 的最小值是；（III）.

【解析】試題分析：（I）根據(jù)條件及給出的新定義判斷；（II）結(jié)合所給出的新定義，分類討論可得結(jié)果；（III）用反證法進(jìn)行推理，可得而。

試題解析：

（I）

（Ⅱ）因為數(shù)列的每一項只可以是或，所以連續(xù)項共有種不同的情形．

若，則數(shù)列中有組連續(xù)項，則這其中至少有兩組按次序?qū)��?yīng)相等，即項數(shù)為的數(shù)列一定是“階可重復(fù)數(shù)列”；

若，數(shù)列， ， ， ， ， ， ， ， ， 不是“階可重復(fù)數(shù)列”；則時，均存在不是“階可重復(fù)數(shù)列”的數(shù)列．

所以要使數(shù)列一定是“階可重復(fù)數(shù)列”，則的最小值是．

（III）由于數(shù)列在其最后一項后再添加一項或，均可使新數(shù)列是“階可重復(fù)數(shù)列”，即在數(shù)列的末項后再添加一項或，

則存在，使得， ， ， ， 與， ， ， ， 按次序?qū)��?yīng)相等，或， ， ， ， 與， ， ， ， 按次序?qū)��?yīng)相等，如果， ， ， 與， ， ， 不能按次序?qū)��?yīng)相等，

那么必有， ， ，使得， ， ， 、， ， ， 與， ， ， 按次序?qū)��?yīng)相等．

此時考慮， 和，其中必有兩個相同，這就導(dǎo)致數(shù)列中有兩個連續(xù)的五項恰按次序?qū)��?yīng)相等，從而數(shù)列是“階可重復(fù)數(shù)列”，這和題設(shè)中數(shù)列不是“階可重復(fù)數(shù)列”矛盾！

所以， ， ， 與， ， ， 按次序?qū)��?yīng)相等，從而．