Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，其中為實(shí)數(shù).

（1）若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍；

（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）

（2）當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

【解析】

（1）∵，考慮到函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，故，進(jìn)而解得

，即在上是單調(diào)減函數(shù). 同理，在上是單調(diào)增函數(shù).

由于在是單調(diào)減函數(shù)，故，從而，即.

令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

又在上有最小值，所以，即，

綜上所述，.

（2）當(dāng)時(shí)，必是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令，

解得，即，

∵在上是單調(diào)函數(shù)，類(lèi)似（1）有，即，

綜合上述兩種情況，有.

①當(dāng)時(shí)，由以及，得存在唯一的零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，由于，，且函數(shù)在上的圖象不間斷，∴在是單調(diào)增函數(shù)，∴在上存在零點(diǎn). 另外，當(dāng)時(shí)，，則在上是單調(diào)增函數(shù)，只有一個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)時(shí)，令，解得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. ∴是的最大值點(diǎn)，且最大值為.

1)當(dāng)，即時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).

2)當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn). 實(shí)際上，對(duì)于，由于，，且函數(shù)在上的圖象不間斷，∴在上存在零點(diǎn).

另外，當(dāng)時(shí)，，故在上是單調(diào)增函數(shù)，∴在上有一個(gè)零點(diǎn).

下面需要考慮在上的情況，先證，

為此，我們要證明：當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，再設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)，，∴在上是單調(diào)增函數(shù)，

故當(dāng)時(shí)，，從而在上是單調(diào)增函數(shù)，進(jìn)而當(dāng)

時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)，即時(shí)，，又，且函數(shù)

在的圖象不間斷，∴在上存在零點(diǎn).

又當(dāng)時(shí)，，故在是單調(diào)減函數(shù)，所以，在上只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.