Question

【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足sinA+sinB=[cosA﹣cos（π﹣B）]sinC．
（1）試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）若a+b+c=1+ ，試求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵sinA+sinB=[cosA﹣cos（π﹣B）]sinC，

∴sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，

由正弦定理和余弦定理得，

a+b=（ + ）c，

化簡(jiǎn)得，2a2b+2ab2=ab2+ac2﹣a3+ba2+bc2﹣b3

a2b+ab2=ac2﹣a3+bc2﹣b3，

（a+b）（a2+b2﹣c2）=0，

又a+b＞0，∴a2+b2﹣c2=0，即a2+b2=c2，

∴△ABC為直角三角形，且∠C=90°

（2）解：∵a+b+c=1+ ，a2+b2=c2，

∴1+ =a+b+ ≥2 + =（2+ ）

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)上式等號(hào)成立，則 ≤ = ，

∴S△ABC= ab≤ × = ，

即△ABC面積的最大值為

【解析】（1）由誘導(dǎo)公式、正弦定理和余弦定理化簡(jiǎn)已知的式子，化簡(jiǎn)后由邊的關(guān)系判斷出三角形的形狀；（2）由（1）和條件化簡(jiǎn)后，由基本不等式化簡(jiǎn)求出 的范圍，表示三角形的面積，即可求出答案．
【考點(diǎn)精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．