Question

【題目】已知函數 f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），a＞0 且 a≠1．

（1）判斷 f（x）的奇偶性并予以證明；

（2）當 a＞1 時，求使 f（x）＞0 的 x 的解集．

Answer 1

【答案】 (1)見解析(2) {x|0＜x＜1}．

【解析】分析：（1）先求出函數的定義域為，對任意，求出，由此得到函數是奇函數；

（2）由得，由此利用對數函數性質能求出不等式的解集.

詳解：（1）由題知，解得：﹣1＜x＜1，

∴函數 f（x）的定義域為（﹣1，1），f（x）是奇函數．

證明：∵函數 f（x）的定義域為（﹣1，1），所以對任意 x∈（﹣1，1），

f（﹣x）=loga（﹣x+1）﹣loga（1﹣（﹣x））=﹣[loga（x+1）﹣loga（1﹣x）]=﹣f（x），

所以函數 f（x）是奇函數．

（2）∵a＞1，f（x）＞0，∴loga（x+1）＞loga（1﹣x），

∴，解得 0＜x＜1，

所以不等式 f（x）＞0 的解集為{x|0＜x＜1}．