Question

【題目】【2018河南南陽市一中上學期第三次月考】已知點為坐標原點， 是橢圓上的兩個動點，滿足直線與直線關于直線對稱．

（I）證明直線的斜率為定值，并求出這個定值；

（II）求的面積最大時直線的方程．

Answer 1

【答案】（I）直線的斜率為定值，其值為；（II），或．

【解析】試題分析：（1）聯立直線和橢圓，解出兩個的交點坐標，用兩點坐標解出直線斜率；（2）聯立直線和橢圓根據弦長公式得到.

再根據點到直線的距離得到，此時面積為，進而得到結果。

解析：

（1）設直線方程為： ，代入得

設，因為點在橢圓上，所以

又由題知，直線的斜率與的斜率互為相反數，在上式中以代，可得

，

所以直線的斜率

即直線的斜率為定值，其值為.

（2）由（1）可設直線方程為： ，代入得

，則.由可得.

， 到直線的距離，

可得，

當且僅當（滿足），即時取等，此時直線的方程為： ，或.