Question

【題目】已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，；
（Ⅲ）設(shè)實(shí)數(shù)k使得對(duì)恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）證明見(jiàn)解析，（Ⅲ）k的最大值為2.
【解析】
（Ⅰ），,,,曲線y=f(x)在點(diǎn)（0，f(0))處的切線方程為
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，,即不等式,對(duì)成立，設(shè),則,當(dāng)時(shí)，,故在（0，1）上為增函數(shù)，則,因此對(duì)，成立；
（Ⅲ）使成立，，等價(jià)于，；，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在（0，1）上為增函數(shù)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，令,,不合題意，
所以k的最大值為2.
【考點(diǎn)精析】掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解答本題的根本，需要知道通過(guò)圖像,我們可以看出當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即．