Question

（2012•東莞市模擬）已知函數f（x）=x²-ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）圖象與x軸異于原點的交點M處的切線為l₁，g（x-1）與x軸的交點N處的切線為l₂，并且l₁與l₂平行．
（1）求f（2）的值；
（2）已知實數t∈R，求函數y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；
（3）令F（x）=g（x）+g′（x），給定x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，對于兩個大于1的正數α，β，存在實數m滿足：α=mx₁+（1-m）x₂，β=（1-m）x₁+mx₂，并且使得不等式|F（α）-F（β）|＜|F（x₁）-F（x₂）|恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數的幾何意義，分別求兩函數在與兩坐標軸的交點處的切線斜率，令其相等解方程即可得a值，從而得到f（2）的值；
（2）令u=xlnx，再研究二次函數u²+（2t-1）u+t²-t圖象是對稱軸u=

1-2t

2

，開口向上的拋物線，結合其性質求出最值；
（3）先由題意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+

1

x

，再利用導數工具研究所以F（x）在區間（1，+∞）上單調遞增，得到當x≥1時，F（x）≥F（1）＞0，下面對m進行分類討論：①當m∈（0，1）時，②當m≤0時，③當m≥1時，結合不等式的性質即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）y=f（x）圖象與x軸異于原點的交點M（a，0），f′（x）=2x-a
y=g（x-1）=ln（x-1）圖象與x軸的交點N（2，0），g′（x-1）=

1

x-1

由題意可得k l1=k l2，即a=1，…（2分）
∴f（x）=x²-x，f（2）=2²-2=2                …（3分）
（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]²-（xlnx+t）
=（xlnx）²+（2t-1）（xlnx）+t²-t，
…（4分）
令u=xlnx，在 x∈[1，e]時，u′=lnx+1＞0，
∴u=xlnx在[1，e]單調遞增，0≤u≤e                            …（5分）
u²+（2t-1）u+t²-t圖象的對稱軸u=

1-2t

2

，拋物線開口向上
①當u=

1-2t

2

≤0即t≥

1

2

時，y最小=t²-t              　…（6分）
②當u=

1-2t

2

≥e即t≤

1-2e

2

時，y最小=e²+（2t-1）e+t²-t    …（7分）
③當0＜

1-2t

2

＜e即

1-2e

2

＜t＜

1

2

時，
y最小=y|u=

1-2t

2

=-

1

4

          …（8分）
（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+

1

x

，F′（x）=

x-1

x2

≥0
所以F（x）在區間（1，+∞）上單調遞增      　　…（9分）
∴當x≥1時，F（x）≥F（1）＞0
①當m∈（0，1）時，有
α=mx₁+（1-m）x₂＞mx₁+（1-m）x₁=x₁，
α=mx₁+（1-m）x₂＜mx₂+（1-m）x₂=x₂，
得α∈（x₁，x₂），同理β∈（x₁，x₂），…（10分）
∴由f（x）的單調性知  0＜F（x₁）＜F（α）、f（β）＜f（x₂）  
從而有|F（α）-F（β）|＜|F（x₁）-F（x₂）|，符合題設．…（11分）
②當m≤0時，，
α=mx₁+（1-m）x₂≥mx₂+（1-m）x₂=x₂，
β=mx₂+（1-m）x₁≤mx₁+（1-m）x₁=x₁，
由f（x）的單調性知，
F（β）≤F（x₁）＜f（x₂）≤F（α）
∴|F（α）-F（β）|≥|F（x₁）-F（x₂）|，與題設不符 …（12分）
③當m≥1時，同理可得α≤x₁，β≥x₂，
得|F（α）-F（β）|≥|F（x₁）-F（x₂）|，與題設不符．…（13分）
∴綜合①、②、③得 m∈（0，1）…（14分）
說明：各題如有其它解法，按照相應的步驟給分．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．