Question

（2012•東莞市模擬）已知函數f（x）=2sinxcosx+cos2x（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）若θ為銳角，且f(θ+

π

8

)=

2

3

，求tan2θ的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，然后求函數f（x）的最小正周期和最大值；
（2）通過θ為銳角，且f(θ+

π

8

)=

2

3

，求出cos2θ的值，sin2θ的值，然后求tan2θ的值．

解答：（1）解：f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x（2分）
=

2

(

2

2

sin2x+

2

2

cos2x)（3分）
=

2

sin(2x+

π

4

)．（4分）
∴f（x）的最小正周期為

2π

2

=π，最大值為

2

．（6分）
（2）解：∵f(θ+

π

8

)=

2

3

，∴

2

sin(2θ+

π

2

)=

2

3

．（7分）
∴cos2θ=

1

3

．（8分）
∵θ為銳角，即0＜θ＜

π

2

，∴0＜2θ＜π．
∴sin2θ=

1-cos22θ

=

2 2

3

．（10分）
∴tan2θ=

sin2θ

cos2θ

=2

2

．（12分）

點評：本小題主要考查三角函數性質，同角三角函數的基本關系、兩倍角公式等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法和運算求解能力．