Question

（2012•東莞市模擬）一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖是腰長為6的兩個全等的等腰直角三角形．
（Ⅰ）請畫出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積；
（Ⅱ）用多少個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為6的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁？試畫出圖形；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下，設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱CC₁的中點為E，求平面AB₁E與平面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接畫出該幾何體的直觀圖如圖1所示，然后求出所求體積．
（Ⅱ）結合體積關系，說明用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體，
其拼法如圖2所示．通過VC1-ABCD=VC1-ABB1A1=VC1-AA1D1D  故所拼圖形成立．
（Ⅲ）設B₁E，BC的延長線交于點G，連接GA，在底面ABC內作BH⊥AG，垂足為H，連接HB₁，說明∠B₁HB為平面AB₁E與平面ABC所成二面角或其補角的平面角．在Rt△ABG中，求解平面AB₁E與平面ABC所成二面角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）該幾何體的直觀圖如圖1所示，它是有一條
側棱垂直于底面的四棱錐．其中底面ABCD是邊長為6的
正方形，高為CC₁=6，故所求體積是V=

1

3

×62×6=72  …（4分）
（Ⅱ）依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，
故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體，
其拼法如圖2所示．
證明：∵面ABCD、面ABB₁A₁、面AA₁D₁D為全等的
正方形，于是VC1-ABCD=VC1-ABB1A1=VC1-AA1D1D  故所拼圖形成立．…（4分）
（Ⅲ）設B₁E，BC的延長線交于點G，
連接GA，在底面ABC內作BH⊥AG，垂足為H，
連接HB₁，則B₁H⊥AG，故∠B₁HB為平面AB₁E與
平面ABC所成二面角或其補角的平面角．
在Rt△ABG中，AG=

180

，
則BH=

6×12

180

=

12

5

，
B1H=

BH2+BB12

=

18

5

，
cos∠B1HB=

HB

HB1

=

2

3

，
故平面AB₁E與平面ABC所成二面角的余弦值為

2

3

．…（4分）

點評：本題考查三視圖與直觀圖的關系，考查空間想象能力，平面與平面所成角的求法，考查計算能力．