Question

【題目】設向量 =（sinx，﹣1）， =（ cosx，﹣ ），函數f（x）=（ + ） ．
（1）求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）當x∈（0， ）時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =（sinx，﹣1）， =（ cosx，﹣ ），

∴f（x）=（ + ） =（sinx+ cosx，﹣ ）（sinx，﹣1）

=sin2x+ sinxcos+ = （1﹣cos2x）+ sin2x+

= sin2x﹣ cos2x）+2

=sin（2x﹣ ）+2，

由2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，

解得：kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，

故函數的遞增區間是[kπ﹣ ，kπ+ ]

（2）解：∵x∈（0， ），

∴2x﹣ ∈（﹣ ， ），

故sin（2x﹣ ）的最大值是1，sin（2x﹣ ）＞sin（﹣ ）=﹣ ，

故函數的最大值是3，最小值大于 ，

即函數的值域是（ ，3]

【解析】（1）利用向量數量積公式化簡函數，結合正弦函數的單調增區間，可得f（x）的單調增區間；（2）求出（2x﹣ ）的范圍，從而確定f（x）的范圍，化簡函數，可得函數的值域．