Question

【題目】以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為（,a為常數）），過點、傾斜角為的直線的參數方程滿足，（為參數）．

（1）求曲線C的普通方程和直線的參數方程；

（2）若直線與曲線C相交于A、B兩點（點P在A、B之間），且，求和的值．

Answer 1

【答案】（1） 為參數）； （2）.

【解析】

（1）根據，，化曲線C的極坐標方程為直角坐標方程，根據點斜式得直線的普通方程，代入解得，即得參數方程.（2）將直線參數方程代入曲線C方程，根據參數幾何意義得，解得，再根據，利用韋達定理解得結果.

（1）由得，

又，，得，∴C的普通方程為，

∵過點、傾斜角為的直線的普通方程為，

由得

∴直線的參數方程為 （t為參數）；

（2）將代入，得，

依題意知

則上方程的根、就是交點A、B對應的參數，∵，

由參數t的幾何意義知，得，

∵點P在A、B之間，∴，

∴，即，解得（滿足），∴，

∵，又，

∴．