Question

【題目】在平面直角坐標系 xOy中，O為坐標原點，已知點，P是動點，且三角形POQ的三邊所在直線的斜率滿足.

(1)求點P的軌跡C的方程；

(2)過F作傾斜角為60°的直線L，交曲線C于A，B兩點，求△AOB的面積；

(3)過點任作兩條互相垂直的直線，分別交軌跡 C 于點A，B和M，N，設線段AB，MN的中點分別為E，F.，求證：直線EF恒過一定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）定點，理由見解析

【解析】

（1）設點P的坐標，用已知點和P點坐標表示出，和，再代入等式，整理即得點P的軌跡C方程；（2）設A,B點的坐標，根據點F，可得直線L的方程，將L的方程和P的軌跡方程聯立，再由公式可得△AOB的面積；（3）設點A,B的坐標為，點E的坐標為，設直線的方程為，將直線與曲線方程聯立，因為直線與曲線有兩個交點，則可用斜率k表示出點E，直線垂直，可知直線的斜率為，且過點D，則同理可得用k表示的F點坐標，根據點斜式可求出直線EF的方程，再根據方程特點可證．

（1）設點P的坐標為，則，

由，得，整理得點P的軌跡的方程為：

（2）設，由得：

，

（3）證明：設點A,B的坐標為，則點E的坐標為.

由題意可設直線的方程為，

由，消去y得，

，∵直線與拋物線交于A，B兩點，

，

∴點E的坐標為，由題知，直線的斜率為，同理可得F的坐標為.

當時，有.此時直線EF的斜率為：

∴直線EF的方程為，

整理得，恒過定點，當時，直線EF的方程為，也過點.

綜上所述，直線EF恒過定點.