Question

已知函數.

 

（1）求證：函數在點處的切線恒過定點，并求出定點坐標；

（2）若在區間上恒成立，求的取值范圍；

（3）當時，求證：在區間上，滿足恒成立的函數

 

有無窮多個.

 

Answer 1

【答案】

解：(1)因為  ，所以在點處的切線的斜率為

，

所以在點處的切線方程為 ，……2分

整理得，所以切線恒過定點 ．   ………4分

 

(2) 令<0，對恒成立，

 

因為 （*）

                       ………………………………………………………………6分

令，得極值點，，

 

①當時，有，即時，在（，+∞）上有，

 

此時在區間上是增函數，并且在該區間上有∈，不合題意；

②當時，有，同理可知，在區間上，有∈，

也不合題意；          …………………………………………… 8分                              

③當時，有，此時在區間上恒有，

 

從而在區間上是減函數；

要使在此區間上恒成立，只須滿足，

 

所以．    

 

綜上可知的范圍是．      ……………………………………………12分

 

 (3)當時，

 

記．

 

因為，所以在上為增函數，

 

所以，        ………………………………14分

 

設, 則,

 

所以在區間上，滿足恒成立的函數有無窮多個．16分

【解析】略