Question

20．已知a＞0，（$\frac{a}{\sqrt{x}}$-x）⁶展開式的常數項為240，則${∫}_{-a}^{a}$（x²+x+$\sqrt{4-{x}^{2}}$）dx=$\frac{16}{3}$+2π．

Answer 1

分析 根據二項式展開式的通項公式寫出常數項，求得a的值，再計算定積分${∫}_{-2}^{2}$（x²+x+$\sqrt{4-{x}^{2}}$）dx的值．

解答 解：a＞0，（$\frac{a}{\sqrt{x}}$-x）⁶展開式的通項公式為：
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•${（\frac{a}{\sqrt{x}}）}^{6-r}$•（-x）^r=a^6-r•${C}_{6}^{r}$•（-1）^r•${x}^{\frac{3r}{2}-3}$；
令$\frac{3r}{2}$-3=0，解得r=2，
即有C₆²•a⁴=240，解得a=2；
則${∫}_{-2}^{2}$（x²+x+$\sqrt{4-{x}^{2}}$）dx
=（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²）${|}_{-2}^{2}$+$\frac{1}{2}$•π•2²
=$\frac{16}{3}$+2π．
故答案為：$\frac{16}{3}$+2π．

點評 本題考查了二項式展開式的通項公式以及定積分的計算問題，是中檔題．