Question

【題目】已知函數(shù)， ，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）試探究當(dāng)時(shí)，方程的解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ)答案見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再對(duì)求導(dǎo)， 為切點(diǎn)的縱坐標(biāo)， 為切線的斜率，最后利用點(diǎn)斜式求曲線的切線；第二問(wèn)，將對(duì)任意，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為， 構(gòu)造函數(shù)對(duì)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求最小值，代入到中即可；第三問(wèn)，分情況討論，對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再驗(yàn)證區(qū)間端點(diǎn)縱坐標(biāo)的正負(fù)來(lái)決定函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn).

試題解析：（1）依題意得， ，

.

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為. 4分

（2）等價(jià)于對(duì)任意， .5分

設(shè)， ．

則

因?yàn)?/span>，所以，

所以，故在單調(diào)遞增， 6分

因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值； 7分

所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.8分

（3）設(shè)， ．

①當(dāng)時(shí)，由（2）知，函數(shù)在單調(diào)遞增，

故函數(shù)在至多只有一個(gè)零點(diǎn)，

又，而且函數(shù)圖象在上是連續(xù)不斷的，

因此，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).10分

②當(dāng)時(shí)， 恒成立．證明如下：

設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，

所以時(shí)， ，所以，

又時(shí)， ，所以，即，即．

故函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn).11分

③當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在至多只有一個(gè)零點(diǎn)，

又，而且函數(shù)在上是連續(xù)不斷的，

因此，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).13分

綜上所述， 時(shí)，方程有兩個(gè)解.14分