Question

【題目】如圖所示，是臨江公園內一個等腰三角形形狀的小湖（假設湖岸是筆直的），其中兩腰米，.為了給市民營造良好的休閑環境，公園管理處決定在湖岸，上分別取點，（異于線段端點），在湖上修建一條筆直的水上觀光通道（寬度不計），使得三角形和四邊形的周長相等.

（1）若水上觀光通道的端點為線段的三等分點（靠近點），求此時水上觀光通道的長度；

（2）當為多長時，觀光通道的長度最短？并求出其最短長度.

Answer 1

【答案】(1) 水上觀光通道的長度為米;(2) 當米時，水上觀光通道的長度取得最小值，最小值為米.

【解析】分析：（1）在等腰中，過點作于，先計算出，，再利用余弦定理求出EF的長度.(2) 設，，先求出EF的表達式，再利用基本不等式求其最短長度.

詳解：（1）在等腰中，過點作于，

在中，由，即，∴，，

∴三角形和四邊形的周長相等.

∴，即，

∴.

∵為線段的三等分點（靠近點），∴，，

在中，，

∴米.

即水上觀光通道的長度為米.

（2）由（1）知，，設，，在中，由余弦定理，得

.

∵，∴.

∴，當且僅當取得等號，

所以，當米時，水上觀光通道的長度取得最小值，最小值為米.