Question

【題目】已知函數 ，則方程 （為正實數）的實數根最多有_____個

Answer 1

【答案】6

【解析】.

,, 單調遞增；

,, 單調遞減；

,, 單調遞增.

.

由g[f(x)]a=0(a>0)得g[f(x)]=a,(a>0)

設t=f(x),則g(t)=a,(a>0)

由y=g(t)的圖象知，

①當0<a<1時,方程g(t)=a有兩個根4<t1<3,或3<t2<2，

由t=f(x)的圖象知,當4<t1<3時,t=f(x)有1個根，

當3<t2<2時,t=f(x)有3個根，

此時方程g[f(x)]a=0(a>0)有4個根，

②當a=1時,方程g(t)=a有兩個根t1=3,或t2=,

由t=f(x)的圖象知,當t1=3時,t=f(x)有2個根，

當t2=時,t=f(x)有3個根，

此時方程g[f(x)]a=0(a>0)有5個根，

③當時,方程g(t)=a有兩個根0<t1<,或<t2<1，

由t=f(x)的圖象知,當0<t1<時,t=f(x)有3個根，

當<t2<1時,t=f(x)有3個根，

此時方程g[f(x)]a=0(a>0)有3+3=6個根，

④當a=時,方程g(t)=a有兩個根t1=0,或t2=1，

由t=f(x)的圖象知,當t1=0時,t=f(x)有3個根，

當t2=1時,t=f(x)有2個根，

此時方程g[f(x)]a=0(a>0)有3+2=5個根

⑤當a>時,方程g(t)=a有1個根t1>1，

由t=f(x)的圖象知,當t1>1時,t=f(x)有1個根，

此時方程g[f(x)]a=0(a>0)有1個根，

綜上方程g[f(x)]a=0(a>0)的實根最多有6個根，

答案為6.