Question

【題目】設雙曲線C的焦點在軸上，離心率為，其一個頂點的坐標是（0,1）.

（Ⅰ）求雙曲線C的標準方程；

（Ⅱ）若直線與該雙曲線交于A、B兩點，且A、B的中點為（2,3），求直線的方程

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（Ⅰ）由頂點坐標是（0，3），求得a，由已知條件雙曲線的離心率為，列出方程求出c，利用雙曲線的三參數的關系，求出b，據雙曲線焦點的位置寫出雙曲線的方程．
（Ⅱ）設出A，B的坐標，代入雙曲線方程，兩式相減，根據中點的坐標可知x1+x2和y1+y2的值，進而求得直線AB的斜率，根據點斜式求得直線的方程．

試題解析：

（1）由已知得

又∴

∴ 雙曲線C的標準方程為

（2） 設A、B兩點的坐標分別為、，

則 由①-②得：

∴.

∴直線的方程為 經檢驗滿足。