Question

【題目】已知函數（）.

（Ⅰ）若函數，討論的單調性；

（Ⅱ）若函數的導數的兩個零點從小到大依次為，，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數單調性見解析；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據題意，求得，對參數進行分類討論即可容易求得；

（Ⅱ）根據是的兩根，求得之間的關系式，構造函數，根據其單調性即可證明.

（Ⅰ）∵∴（）.

當時，，

∴在上單調遞增，在上單調遞減；

當時，或，

∴在，上單調遞增，在上單調遞減；

當時，或，

∴在，上單調遞增，在上單調遞減；

當時，在上恒成立，

所以在上單調遞增；

綜上所述：

當時，在上單調遞增，在上單調遞減；

當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；

當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；

當時，在上單調遞增.

（Ⅱ）∵（）.

且的兩個零點從小到大依次為，

∴，是方程的兩個根，

∴

又，且所以

欲證，即證

只需證

令（），

∴在上單調遞增，上單調遞減，

∴，

即成立.