Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在點處的切線方程為，求實數(shù)的值；

（2）若函數(shù)存在兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）直接根據(jù)切點處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率求解；

（2）變形為方程有兩個實數(shù)根；轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩個交點；分析函數(shù)的圖象，從而求解．

解：（1）因為，

得

所以.

因為曲線在點處的切線方程為，

所以，

即，

（2）存在兩個零點，

即方程有兩個根，

也即直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，

記，

由，

由或，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

且，時，

又直線過，斜率為，

大致畫出圖象（如下圖），觀察圖象知：

當(dāng)時，直線與的圖象必有兩個交點，

當(dāng)時直線與的圖象只有一個交點，

綜上，函數(shù)存在兩個零點，實數(shù)的取值范圍為.