Question

已知函數f(x)＝x³＋ax²＋bx.
(1)若a＝2b，試問函數f(x)能否在x＝－1處取到極值？若有可能，求出實數a，b的值；否則說明理由．
(2)若函數f(x)在區間(－1,2)，(2,3)內各有一個極值點，試求w＝a－4b的取值范圍．

Answer 1

(1) 不能，理由見解析      (2)  (－29,10)

解：(1)由題意f′(x)＝x²＋ax＋b，
∵a＝2b，∴f′(x)＝x²＋2bx＋b.
若f(x)在x＝－1處取極值，
則f′(－1)＝1－2b＋b＝0，即b＝1，
此時f′(x)＝x²＋2x＋1＝(x＋1)²≥0，
函數f(x)為單調遞增函數，這與該函數能在x＝－1處取極值矛盾，
故該函數不能在x＝－1處取得極值．
(2)∵函數f(x)＝x³＋ax²＋bx在區間(－1,2)，(2,3)內分別有一個極值點，
∴f′(x)＝x²＋ax＋b＝0在(－1,2)，(2,3)內分別有一個實根，
∴⇒
⇒
畫出不等式表示的平面區域，如圖所示，

當目標函數w＝a－4b過N(－5,6)時，
對應的w＝－29；
當目標函數w＝a－4b過M(－2，－3)時，
對應的w＝10.
故w＝a－4b的取值范圍為(－29,10)．