Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知，，是橢圓上不同的三點，，，在第三象限，線段的中點在直線上．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）求點C的坐標；
（3）設動點在橢圓上（異于點，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點，證明為定值并求出該定值．

Answer 1

(1)；(2)；(3)．

試題分析：(1)已知橢圓過兩點，可把兩點坐標代入方程列出關于的方程組，然后把分別作為整體，方程組就變為二元一次方程組，從而可很快解得；(2)關鍵是線段的中點在直線上，可設，由線段中點為，而直線的方程可求得，代入可得的一個方程，點坐標代入橢圓方程又得另一方程，聯立可解得點坐標；(3)這類問題我們采取設而不求的方法，設，在直線上，則，同理，
，下面我們想辦法把用表示出來，這可由共線，共線得到，這里要考查同學計算能力，只要計算正確，就能得出正確結論．
試題解析：（1）由已知，得解得       2分
所以橢圓的標準方程為．       3分
（2）設點，則中點為．
由已知，求得直線的方程為，從而．①
又∵點在橢圓上，∴．②
由①②，解得（舍），，從而．       5分
所以點的坐標為．       6分
（3）設，，．
∵三點共線，∴，整理，得．       8分
∵三點共線，∴，整理，得．       10分
∵點在橢圓上，∴，．
從而．       14分
所以．       15分
∴為定值，定值為．       16分