Question

已知O為坐標原點，F為橢圓在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為的直線與C交與A、B兩點，點P滿足

(Ⅰ)證明：點P在C上；

（Ⅱ）設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上.

Answer 1

【思路點撥】方程聯立利用韋達定理是解決這類問題的基本思路，注意把用坐標表示后求出P點的坐標，然后再結合直線方程把P點的縱坐標也用A、B兩點的橫坐標表示出來。從而求出點P的坐標代入橢圓方程驗證即可證明點P在C上。(II)此問題證明有兩種思路：思路一：關鍵是證明互補.通過證明這兩個角的正切值互補即可，再求正切值時要注意利用倒角公式。

思路二：根據圓的幾何性質圓心一定在弦的垂直平分線上，所以根據兩條弦的垂直平分線的交點找出圓心N，然后證明N到四個點A、B、P、Q的距離相等即可.

【精講精析】 (I)設

直線，與聯立得

由得

,

所以點P在C上。

（II）法一：

同理

所以互補，

因此A、P、B、Q四點在同一圓上。

法二：由和題設知，,PQ的垂直平分線的方程為…①

設AB的中點為M，則，AB的垂直平分線的方程為…②

由①②得、的交點為

,

,,

故.

所以A、P、B、Q四點在同一圓圓N上.