Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求在區(qū)間上的最值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當時，有恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）， ．

（2）當時， 在單調(diào)遞增；當時， 在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時， 在上單調(diào)遞減．（3）

【解析】試題分析：（1）先求導數(shù)，再求導函數(shù)零點，列表分析導數(shù)在區(qū)間上符號變化規(guī)律，確定函數(shù)最值（2）先求導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)符號是否變化進行分類討論： 時， ， 時， ， 時，先負后正，最后根據(jù)導數(shù)符號對應確定單調(diào)性（3）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)最值，由（2）得，即，整理化簡得，解得的取值范圍.

試題解析：解：（Ⅰ）當時， ，∴.

∵的定義域為，∴由得.

∴在區(qū)間上的最值只可能在， ， 取到，而， ， ，

∴，

（Ⅱ）， .

①當，即時， ，∴在上單調(diào)遞減；

②當時， ，∴在上單調(diào)遞增；

③當時，由得，∴或（舍去）

∴在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

綜上，當， 在上單調(diào)遞增；

當時， 在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時， 在上單調(diào)遞減；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，

即原不等式等價于即整理得

∴，又∵，∴的取值范圍為.