Question

【題目】已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，點在線段上.

（Ⅰ）若為的中點，求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）證明：存在點，使得平面，并求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）設，根據平面幾何知識得為平行四邊形，即得，再根據線面平行判定定理得結果，（Ⅱ）建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解得平面的一個法向量，根據向量數量積得法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角關系得結果，（Ⅲ）設，根據題意得與平面法向量，列式可得M坐標，代入即得的值.

（Ⅰ）設，連結，

因為正方形，所以為中點

又矩形,為的中點

所以且

所以為平行四邊形

所以

又平面，平面

所以平面

（Ⅱ）以為原點，分別以為軸建立坐標系

則

設平面的法向量為，

由得

則

易知平面的法向量

由圖可知二面角為銳角

所以二面角的余弦值為

（Ⅲ）設，則

若平面，則，即

所以解得所以

所以