Question

已知直線過定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）直線與交于兩點(diǎn)，以為切點(diǎn)分別作的切線，兩切線交于點(diǎn).
①求證：；②若直線與交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

(1) (2) 根據(jù)直線斜率互為負(fù)倒數(shù)來得到證明，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形面積的取到最小值。

試題分析：（I）由題意知，設(shè)
化簡得     3分
（Ⅱ）①設(shè)，，
由消去，得，顯然.
所以， 
由，得，所以，
所以，以為切點(diǎn)的切線的斜率為，
所以，以為切點(diǎn)的切線方程為，又，
所以，以為切點(diǎn)的切線方程為……（1）
同理，以為切點(diǎn)的切線方程為……（2）
（2）-（1）并據(jù)得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
代入（1）易得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí)，顯然
當(dāng)時(shí)，，從而   8分
②由已知，顯然直線的斜率不為0，由①知，所以，
則直線的方程為，
設(shè)設(shè)，，
由消去，得，顯然，
所以，.
又


 
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010247074487.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形面積的取到最小值    13分
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是借助于向量的模來表示得到軌跡方程，并聯(lián)立方程組來得到弦長公式，進(jìn)而得到面積的表示，屬于中檔題。