Question

【題目】如圖，在四棱柱中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，，，，點為的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使直線與平面所成的角正弦值為，若存在求出的長，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）線段上是存在一點，，使直線與平面所成的角正弦值為.

【解析】

（Ⅰ）取中點，連結、，推導出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明平面;（Ⅱ）取中點，連結，，推導出平面，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值；（Ⅲ）假設在線段上是存在一點，使直線與平面所成的角正弦值為，設．利用向量法能求出結果．

（Ⅰ）證明：取中點，連結、，

是邊長為2的等邊三角形，，，，點為的中點，

，四邊形是平行四邊形，，

平面，平面，

平面．

（Ⅱ）解：取中點，連結，，

在四棱柱中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，

，，，點為的中點，

平面，，

以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

，1，，，0，，，1，，，0，，

，，，，0，，，，，

設平面的法向量，，，

則，取，得，，，

設平面的法向量，，，

則，取，得，

設二面角的平面角為，

則．

二面角的余弦值為．

（Ⅲ）解：假設在線段上是存在一點，使直線與平面所成的角正弦值為，設．

則，，，，，，平面的法向量，

，

解得，

線段上是存在一點，，使直線與平面所成的角正弦值為．