Question

【題目】已知數列的前項和為，且點在函數的圖像上；

（1）求數列的通項公式；

（2）設數列滿足：，，求的通項公式；

（3）在第（2）問的條件下，若對于任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）（2）當n為偶數時，；當n為奇數時，.（3）

【解析】

（1）根據,討論與兩種情況,即可求得數列的通項公式;

（2）由（1）利用遞推公式及累加法,即可求得當n為奇數或偶數時的通項公式.也可利用數學歸納法,先猜想出通項公式,再用數學歸納法證明.

（3）分類討論,當n為奇數或偶數時,分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.

（1）由題意可知,.

當時,,

當時,也滿足上式.

所以.

（2）解法一：由（1）可知,

即.

當時,,①

當時,,所以,②

當時,,③

當時,,所以,④

……

當時,n為偶數

當時,n為偶數所以

以上個式子相加,得

.

又,所以當n為偶數時,.

同理,當n為奇數時,

,

所以,當n為奇數時,.

解法二：

猜測：當n為奇數時,

.

猜測：當n為偶數時,

.

以下用數學歸納法證明：

,命題成立；

假設當時,命題成立；

當n為奇數時,,

當時,n為偶數,由得

故,時,命題也成立.

綜上可知, 當n為奇數時

同理,當n為偶數時,命題仍成立.

（3）由（2）可知.

①當n為偶數時,,

所以隨n的增大而減小從而當n為偶數時,的最大值是.

②當n為奇數時,,

所以隨n的增大而增大,且.

綜上,的最大值是1.

因此,若對于任意的,不等式恒成立,只需,

故實數的取值范圍是.