Question

【題目】已知函數在點處的切線與直線垂直.

（1）求函數的極值；

（2）若在上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極大值為，函數無極小值；（2）

【解析】分析：（1）由函數在點處的切線與直線垂直，利用導數的幾何意義求得，利用導數研究函數的單調性，從而可得函數的極值；（2）在上恒成立，等價于在上恒成立，令，利用導數可得當時，在上是增函數，，故當時，，再證明當時不合題意即可.

詳解：（1）函數的定義域為，，

所以函數在點處的切線的斜率.

∵該切線與直線垂直，所以，解得.

∴， ，

令，解得.

顯然當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減.

∴函數的極大值為，函數無極小值.

（2）在上恒成立，等價于在上恒成立，

令，則，

令，則在上為增函數，即，

①當時，，即，則在上是增函數，

∴，故當時，在上恒成立.

②當時，令，得，

當時，，則在上單調遞減，，

因此當時，在上不恒成立，

綜上，實數的取值范圍是.