Question

【題目】（本小題滿分12分）

某港灣的平面示意圖如圖所示， ， ， 分別是海岸線上的三個(gè)集鎮(zhèn)， 位于的正南方向6km處， 位于的北偏東方向10km處．

（Ⅰ）求集鎮(zhèn)， 間的距離；

（Ⅱ）隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，為緩解集鎮(zhèn)的交通壓力，擬在海岸線上分別修建碼頭，開辟水上航線．勘測(cè)時(shí)發(fā)現(xiàn)：以為圓心，3km為半徑的扇形區(qū)域?yàn)闇\水區(qū)，不適宜船只航行．請(qǐng)確定碼頭的位置，使得之間的直線航線最短．

Answer 1

【答案】（1）14 （2）

【解析】試題分析：先利用余弦定理已知兩邊及其夾角求出第三邊，根據(jù)題意要求，直線必與圓相切．設(shè)切點(diǎn)為，連接，則．設(shè)， ， ，根據(jù)面積相等求出，再利用余弦定理和基本不等式“等轉(zhuǎn)不等”，求出的最小值.

試題解析：

（Ⅰ）在△中， ， ， ，

根據(jù)余弦定理得，

，

所以．故， 兩集鎮(zhèn)間的距離為14km．

（Ⅱ）依題意得，直線必與圓相切．設(shè)切點(diǎn)為，連接，則．

設(shè)， ， ，

在△中，由，

得，即，

由余弦定理得， ，

所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 取得最小值．

所以碼頭與集鎮(zhèn)的距離均為km時(shí)， 之間的直線航線最短，最短距離為km．