Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足Sn=n2﹣4n，數列{bn}中，b1= 對任意正整數 ．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）是否存在實數μ，使得數列{3nbn+μ}是等比數列？若存在，請求出實數μ及公比q的值，若不存在，請說明理由；
（3）求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，a1=S1=﹣3，

當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣4n﹣（n﹣1）2+4（n﹣1），

即an=2n﹣5，

n=1也適合，所以an=2n﹣5

（2）解：法一：

假設存在實數μ，使數列{3nbn+μ}是等比數列，且公比為q．

因為對任意正整數 ， ，

可令n=2，3，得 b2= ，b3=﹣ ．

因為{3nbn+μ}是等比數列，所以 = ，解得 μ=﹣

從而 = = =﹣3 （n≥2）

所以存在實數μ=﹣ ，公比為q=﹣3．

法二：因為對任意正整數 ．所以 ，

設3nbn+μ=﹣3（3n﹣1bn﹣1+μ），則﹣4μ=1，

所以存在 ，且公比

（3）證明：因為a2=﹣1，a3=1，所以 ， ，

所以 ，即 ，

于是b1+b2+…+bn= + + +… = = =

當是奇數時：b1+b2+…+bn= ，關于遞增，

得 ≤b1+b2+…+bn＜ ．

當是偶數時：b1+b2+…+bn= ，關于遞增，

得 ≤b1+b2+…+bn ．

綜上， ≤b1+b2+…+bn

【解析】（1）當n=1時，a1=S1=﹣3，當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 可得an ． （2）法一：假設存在實數μ，使數列{3nbn+μ}是等比數列，且公比為q．因為對任意正整數 ， ，可令n=2，3，得 b2 ， b3 ． 根據{3nbn+μ}是等比數列，可得： = ，解得 μ，代入可得 =﹣3 （n≥2）即可證明． 法二：因為對任意正整數 ．所以 ，設3nbn+μ=﹣3（3n﹣1bn﹣1+μ），可得﹣4μ=1，即可證明．（3）由a2=﹣1，a3=1，可得 ， ，可得 ，即 ，利用等比數列的求和公式即可得出．對n分類討論，利用數列的單調性即可證明．