Question

（2011•朝陽區三模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（Ⅰ）若點M是棱PC的中點，求證：PA∥平面BMQ；
（Ⅱ）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅲ）若二面角M-BQ-C為30°，設PM=tMC，試確定t的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）本小題是一個證明線面平行的題，一般借助線面平行的判定定理求解，如圖連接AC，交BQ于N，連接MN，先證明MN∥PA，再由線面平行的判定理證明線面平行；
（II）本小題是一個證明面面垂直的題，可采用面面垂直的定義求二面角是直角，或者用面面垂直的判定理證明，由題設條件知，利用面面垂直的判定定理證明較易，觀察圖形與題設條件，法一：可通過證明BQ⊥平面PAD來證明面面垂直；法二：可通過證明AD⊥平面PBQ．證明平面PQB⊥平面PAD；
（III）本小題研究二面角為30°時，確定M的位置，再由M的位置確定出t的值，由（II）由面面垂直的性質定理易得出Q點出發的三個線段QP，QA，QB兩兩垂直，故可以考慮建立空間坐標系利用空間向量將二面角的大小表示出來，利用二面角為30°建立方程求出t的值

解答：證明：（Ⅰ）連接AC，交BQ于N，連接MN．     …（1分）
∵BC∥AD且BC=

1

2

AD，即BC

∥ .

.

AQ，
∴四邊形BCQA為平行四邊形，且N為AC中點，
又∵點M在是棱PC的中點，
∴MN∥PA．…（2分）
∵MN?平面MQB，PA?平面MQB，…（3分）
∴PA∥平面MBQ． …（4分）
（Ⅱ）∵AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q為AD的中點，
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ．…（6分）
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD，…（7分）
∴BQ⊥平面PAD．         …（8分）
∵BQ?平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD．   …（9分）
另證：AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q為AD的中點
∴BC∥DQ 且BC=DQ，
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°  即QB⊥AD． …（6分）
∵PA=PD，∴PQ⊥AD．        …（7分）
∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．  …（8分）
∵AD?平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD．        …（9分）
（Ⅲ）∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．…（10分）
（不證明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）
如圖，以Q為原點建立空間直角坐標系．
則平面BQC的法向量為

n

=(0，0，1)；Q（0，0，0），P(0，0，

3

)，B(0，

3

，0)，C(-1，

3

，0)．…（11分）
設M（x，y，z），
則

PM

=(x，y，z-

3

)，

MC

=(-1-x，

3

-y，-z)，
∵

PM

=t

MC

，
∴

x=t(-1-x) y=t( 3 -y) z- 3 =t(-z)

，
∴

x=- t 1+t y= 3 t 1+t z= 3 1+t

…（12分）
在平面MBQ中，

QB

=(0，

3

，0)，

QM

=(-

t

1+t

，

3 t

1+t

，

3

1+t

)，
∴平面MBQ法向量為

m

=(

3

，0，t)．
∵二面角M-BQ-C為30°，cos30°=

n • m

| n || m |

=

t

3+0+t2

=

3

2

，
∴t=3．               …（13分）

點評：本題考查與二面角有關的立體幾何證明題，考查了二面角的求法，面面垂直的證明方法以及線面平行的證明，解題的關鍵是熟練掌握二面角的平面角的做法以及用向量法求二面角的步驟，面面垂直與線面平行的相關定理定義等，向量中的方程與立體幾何中位置關系的對應，如數量積為0與垂直的對應，向量的共線與平行的對應，向量夾角與線線角，線面角，面面角的對應，本題考查了數形結合的思想，轉化的思想，方程的思想，考查了待定系數建立方程的技巧，用向量解決立體幾何問題的方法，本題知識性綜合性強，考查空間想像能力，推理判斷能力及轉化的能力，本題運算量大，且多是符號運算，解題時要嚴謹