【題目】已知拋物線
過點
(
為非零常數)與
軸不垂直的直線
與C交于
兩點.
(1)求證:
(
是坐標原點)；
(2)AB的垂直平分線與軸交于
，求實數
的取值范圍；
(3)設A關于軸的對稱點為D,求證:直線BD過定點,并求出定點的坐標.
【答案】(1)見解析；(2) 
；(3) 過定點，且定點為
.
【解析】
(1)因為
，所以聯立直線和曲線方程，得到
的表達式，代入計算即可證明結果. (2)首先根據第一問的計算過程求出
的中點坐標
，從而設出AB的垂直平分線：
，令
，求出
的表達式
，根據第一問中
求出
的關系，代入求解的范圍即可. (3)首先根據對稱關系設出D點的坐標，然后利用兩點式寫出直線BD的方程
，根據第一問的計算過程化簡直線方程，從而求出直線所過的定點.
(1)設過點
的直線
的方程為
，聯立曲線方程得：
所以
.
(2) 設兩點的中點坐標為
，則
，
.則，即AB的垂直平分線為，
令，解得.又
，即
，所以
.
所以的取值范圍為.
(3) A關于
軸的對稱點為D，則
，則直線BD：，整理得：
.
又
=
.
所以直線BD為：
=
，所以恒過定點.得證.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的右焦點為
且過點
橢圓C與
軸的交點為A、B(點A位于點B的上方)，直線
與橢圓C交于不同的兩點M、N(點M位于點N的上方).
(1)求橢圓C的方程；
(2)求△OMN面積的最大值；
(3)求證:直線AN和直線BM交點的縱坐標為常值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
，
．
（1）若函數f（x）在
處有極值，求函數f（x）的最大值；
（2）是否存在實數b，使得關于x的不等式
在
上恒成立？若存在，求出b的取值范圍；若不存在，說明理由；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
的離心率為
，圓
與
正半軸交于點
，圓
在點處的切線被橢圓
截得的弦長為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）設圓上任意一點
處的切線交橢圓于點
、
，求證：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若數列各項均非零，且存在常數
，對任意
，
恒成立，則成這樣的數列為“類等比數列”，例如等比數列一定為類等比數列，則：
（1）各項均非零的等差數列是否可能為“類等比數列”？若可能，請舉例；若不能，說明理由；
（2）已知數列
為“類等比數列”，且
，是否存在常數
，使得
恒成立？
（3）已知數列為“類等比數列”，且
，求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從某居民區隨機抽取10個家庭，獲得第
個家庭的月收入
（單位：千元）與月儲蓄
（單位：千元）的數據資料，算得
，
，
，
．
（1）求家庭的月儲蓄
對月收入
的線性回歸方程
；
（2）若該居民區某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄．
（附：線性回歸方程中，
，其中
，
為樣本平均值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝x3＋sin x，x∈(－1，1)，則滿足f(a2－1)＋f(a－1)>0的a的取值范圍是( )
A. (0，2)B. (1，
)C. (1，2)D. (0，)
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