Question

【題目】已知函數在點處取得極值.

(1)求的值；

(2)若有極大值，求在上的最小值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析:(1) 函數在點處取得極值 ,則 , ,列方程組解出a,b的值即可;(2)對函數求導判斷單調性,求出函數的極大值,由極大值可求出c的值,代回解析式,根據單調性求出函數在上的最小值．

試題解析：

(1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，

由于f(x)在點x＝2處取得極值c－16，

故有,

即化簡得,

解得a＝1，b＝－12.

(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c；

f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．

令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.

當x∈(－∞，－2)時，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上為增函數；

當x∈(－2,2)時，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上為減函數；

當x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，

故f(x)在(2，＋∞)上為增函數．

由此可知f(x)在x1＝－2處取得極大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x1＝2處取得極小值f(2)＝c－16.

由題設條件知16＋c＝28得c＝12.

此時f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，

f(2)＝－16＋c＝－4，

因此f(x)在[－3,3]上的最小值為f(2)＝－4.

點睛: 函數的導數與極值點的關系：(1)定義域上的可導函數在處取得極值的充要條件是，并且在兩側異號，若左負右正為極小值點，若左正右負為極大值點；(2)函數在點處取得極值時，它在這點的導數不一定存在，例如函數，結合圖象，知它在處有極小值，但它在處的導數不存在；(3) 既不是函數在處取得極值的充分條件也不是必要條件．最后一定要注意對極值點進行檢驗．