【題目】設(shè)橢圓
的離心率為
，圓
與
正半軸交于點(diǎn)
，圓
在點(diǎn)處的切線被橢圓
截得的弦長為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)圓上任意一點(diǎn)
處的切線交橢圓于點(diǎn)
、
，求證：
.
【答案】（1）
；（2）詳見解析.
【解析】
（1）由離心率為
得
，再根據(jù)圓
在點(diǎn)
處的切線被橢圓
截得的弦長為
得到點(diǎn)
在橢圓上，解方程組即得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）先證明當(dāng)過點(diǎn)
與圓相切的切線斜率不存在時(shí)
，再證明當(dāng)過點(diǎn)與圓相切的切線斜率存在時(shí)，即可得證.
（1）解設(shè)橢圓的半焦距為
，由橢圓的離心率為，由題知，
，∴橢圓的方程為
，解得
，點(diǎn)在橢圓上，∴
，解得
，
，∴橢圓的方程為.
（2）證明：當(dāng)過點(diǎn)與圓相切的切線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)切線的方程為
，
由（1）知，
，
，
，
，
∴
，即，
當(dāng)過點(diǎn)與圓相切的切線斜率存在時(shí)，
可設(shè)切線的方程為
，
，
，
∴
，即
，
聯(lián)立直線和橢圓的方程得
，
即
，
得
，且
，
，
∵
，
，
∴
，
綜上所述，圓上任意一點(diǎn)
、
、處的切線交橢圓于點(diǎn)，都有.
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芒果教輔達(dá)標(biāo)測(cè)試卷系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn)，
軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線
的極坐標(biāo)方程為
．
（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線與曲線交于
兩點(diǎn)，求
的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】定義在
上的奇函數(shù)
有最小正周期4，且
時(shí)，
（1）判斷并證明在
上的單調(diào)性，并求在
上的解析式；
（2）當(dāng)
為何值時(shí)，關(guān)于
的方程
在
上有實(shí)數(shù)解？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知圓
經(jīng)過
兩點(diǎn)，且圓心在直線
上．
（1）求圓的方程；
（2）已知過點(diǎn)
的直線
與圓相交截得的弦長為
，求直線的方程；
（3）已知點(diǎn)
，在平面內(nèi)是否存在異于點(diǎn)
的定點(diǎn)
，對(duì)于圓上的任意動(dòng)點(diǎn)
，都有
為定值?若存在求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在路邊安裝路燈：路寬
米，燈桿長
米，且與燈柱
成120°角，路燈采用錐形燈罩，燈罩軸線
與燈桿垂直且正好通過道路路面的中線.
（1）求燈柱高的長度（精確到0.01米）；
（2）若該路燈投射出的光成一個(gè)圓錐體，該圓錐體母線與軸線的夾角是30°，寫出路燈在路面上投射出的截面圖形的邊界是什么曲線？寫出其相應(yīng)的幾何量（精確到0.01米）.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
．
（Ⅰ）當(dāng)
時(shí)，求證：
；
（Ⅱ）如果恒成立，求實(shí)數(shù)
的最小值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
過點(diǎn)
(
為非零常數(shù))與
軸不垂直的直線
與C交于
兩點(diǎn).
(1)求證:
(
是坐標(biāo)原點(diǎn))；
(2)AB的垂直平分線與軸交于
，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；
(3)設(shè)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為D,求證:直線BD過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】若存在實(shí)數(shù)
使得
則稱
是區(qū)間
的
一內(nèi)點(diǎn)．
（1）求證：
的充要條件是存在
使得是區(qū)間
的一內(nèi)點(diǎn)；
（2）若實(shí)數(shù)
滿足：
求證：存在，使得
是區(qū)間
的一內(nèi)點(diǎn)；
（3）給定實(shí)數(shù)
，若對(duì)于任意區(qū)間，
是區(qū)間的
一內(nèi)點(diǎn)，
是區(qū)間的
一內(nèi)點(diǎn)，且不等式
和不等式
對(duì)于任意
都恒成立，求證：
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩人各進(jìn)行
次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為
，乙每次擊中目標(biāo)的概率
，
（Ⅰ）記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為
，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)
次的概率．
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