Question

【題目】已知定義域為的函數是奇函數.

（1）求a，b的值；

（2）判斷函數的單調性，并用定義證明；

（3）當時，恒成立，求實數k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）單調遞減，見解析；（3）

【解析】

（1）根據得到，根據計算得到，得到答案.

（2）化簡得到，，計算，得到是減函數.

（3）化簡得到，參數分離，求函數的最小值得到答案.

（1）因為在定義域R上是奇函數.所以，

即，所以．又由，即，

所以，檢驗知，當，時，原函數是奇函數.

（2）在上單調遞減.證明：由（1）知，

任取，設，則，

因為函數在上是增函數，且，所以，又，

所以，即，

所以函數在R上單調遞減.

（3）因為是奇函數，從而不等式等價于，

因為在上是減函數，由上式推得，

即對一切有恒成立，設，

令，

則有，，所以，

所以，即的取值范圍為.