Question

【題目】【2018衡水金卷（三）】如圖所示，在三棱錐中，平面平面， ， ， ， ．

（I）證明： 平面；

（II）若二面角的平面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）直線與平面所成角的正弦值為．

【解析】【試題分析】（1）用余弦定理求得，故三角形為直角三角形，即，根據面面垂直的性質定理可知平面，所以，結合可得平面.（2）過點作，垂足為，連接.易證得即為直線與平面所成的角.計算的的長度，兩者相比即得到所求線面角的正弦值為

【試題解析】

（1）在中，因為， ， ，

所以由余弦定理，可知

，

所以.故，即有.

又因為平面平面，且平面平面， 平面，

所以平面.又平面，所以.

又因為， ，所以平面.

（2）過點作，垂足為，連接.

由（1），知平面， 平面，

所以.又，所以平面，

因此即為直線與平面所成的角.

又由（1）的證明，可知平面，

又平面， 平面，所以， ，

故即為二面角的平面角，即.

故在中，由，得.

在中， ，

且 .

因此在中，得，

故直線與平面所成角的正弦值為.