Question

【題目】已知在平面直角坐標系中，坐標原點為，點，、兩點分別在軸和軸上運動，并且滿足，，動點的軌跡為曲線.

（1）求動點的軌跡方程；

（2）作曲線的任意一條切線（不含軸），直線與切線相交于點，直線與切線、軸分別相交于點與點，試探究的值是否為定值，若為定值請求出該定值；若不為定值請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）2

【解析】

（1）先設，，，求出，的坐標，根據，得到，，再根據，即可求出結果；

（2）先由題意設切線的方程為，與拋物線方程聯立，根據判別式為0，得到，再根據題設及直線方程易得，，，進而可得出的結果.

（1）設，，，

則，，

∵，

∴，

∴，，

∴，，

又，

∴，

∴點的軌跡方程為.

（2）的值為定值2.

求解如下：由題可知切線的斜率存在，

設切線的方程為，代入可得

，

由可得.

由題設及直線方程易得，，，

.

又，

∴，

∴為定值.