Question

【題目】已知點，點P是圓C：上的任意一點，線段PQ的垂直平分線與直線CP交于點M．

求點M的軌跡方程；

過點作直線與點M的軌跡交于點E，過點作直線與點M的軌跡交于點F不重合，且直線AE和直線BF的斜率互為相反數，直線EF的斜率是否為定值，若為定值，求出直線EF的斜率；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值.

【解析】

（1）根據中垂線的性質得出，然后計算出，結合橢圓的定義得知點的軌跡為橢圓，可得出和的值，進而求得的值，于是可得出點的軌跡方程；

（2）設直線的方程為，則直線的方程為，將直線、的方程分別與曲線的方程聯立，利用韋達定理求出的點的坐標，然后利用兩點間的斜率公式求出直線的斜率，從而證明結論．

（1）如下圖所示，

連接，則，

又，所以點的軌跡是以為焦點的橢圓，

因為，所以．

故點的軌跡方程是；

（2）設直線的方程為，則直線的方程為，

由，消去整理得．

設交點、，

則，．

由，消去整理得，

則．

所以，．

故直線的斜率為定值，其斜率為．