Question

設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意的，都有為常數(shù)，且．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

Answer 1

（1）證明：當(dāng)時(shí)，，解得．…………………1分
當(dāng)時(shí)，．即．………2分
又為常數(shù)，且，∴．          ………………………3分
∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．     　……………………4分
（2）解：由（1）得，，．  ………………………5分
∵，∴，即．………7分
∴是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．………………………………………8分
∴，即（）．………………………9分
（3）解：由（2）知，則．
所以，                     ………………10分
即，     ① ……11分
則，   ②………12分
②－①得，     ……………………13分
故．  ………………14分

本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)．當(dāng)出現(xiàn)等比數(shù)列和等差數(shù)列相乘的形式時(shí)，求和可用錯(cuò)位相減法．
（1）當(dāng)n≥2時(shí)，根據(jù)an=Sn-Sn-1，進(jìn)而得出an和an-1的關(guān)系整理得a_na_n-1 =m( 1+m) ，因m為常數(shù)，進(jìn)而可證明當(dāng)n≥2時(shí)數(shù)列{an}是等比數(shù)列．，當(dāng)n=1時(shí)等式也成立，原式得證．
（2）根據(jù)（1）可得f（m）的解析式．再根據(jù)bn=f（bn-1）整理可得（1 bn） -（1 b_n-1） =1進(jìn)而推知數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為2a1，公差為1，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案．
（3）把（2）中的bn代入{2ⁿ⁺¹b_n }，再通過(guò)錯(cuò)位相減法求得Tn