Question

已知數列的前項和為，點在直線上．數列滿足
，，且其前9項和為153.
（Ⅰ）求數列，的通項公式；
（Ⅱ）設，數列的前項和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得，                         
                                            …………1分
當時，
         …………3分
當時，也符合上式．     （沒有檢驗扣1分）                       
 ，   .                                    …………4分
由知是等差數列，             …………5分
由的前9項和為153，可得，
得，又，                        
∴的公差，                         
由，得，
∴，   .                                  …………7分
（Ⅱ），                   …………9分

                                            …………10分
∵增大， 減小 ， 增大，
∴是遞增數列．                   
∴. 即的最小值為                          …………12分
要使得對一切都成立，只要，
，則.                                     …………14分

本試題主要是考查了數列的通項公式的求解和求和的運用。
（1））由已知得，利用前n項和與通項公式的關系得到通項公式的結論。
（2）因為，利用裂項求和得到結論。，并證明不等式。