Question

【題目】如圖一所示，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，沿將點(diǎn)翻折到點(diǎn)位置(如圖二所示)，使得二面角成直二面角.，分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由四邊形是正方形，可知在三棱錐中，，從而易知平面，進(jìn)而可證明；

（2）由二面角為直二面角，可知，即，從而可知，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，然后分別求出平面、平面的法向量、，進(jìn)而由，可求出平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，

因?yàn)樗倪呅?/span>是正方形，所以在三棱錐中，，

因?yàn)?/span>，平面，所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，所以.

（2）因?yàn)槎�面�?/span>為直二面角，平面平面，且，，所以，即，所以兩兩垂直.

以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

易知，所以，，，，，，，

則，，

顯然平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面的法向量為，則，

取，可得，，所以平面的一個(gè)法向量，

則，

所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.