Question

【題目】已知四棱錐中，平面平面，，，，，為棱上一動點，點是的中點．

（1）求證：；

（2）若，問是否存在點E，使得二面角的余弦值為？若存在，求出點E的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析，（2）存在，點E為的中點

【解析】

（1）由平面平面，，可證得平面，而 在平面內，所以；

（2）如圖建立空間直角坐標系，利用空間向量求解

（1）證明：因為平面平面，，

平面平面， 在平面內，

所以平面，

因為 在平面內，所以；

（2）因為，，

所以，所以，所以,

因為平面平面，平面平面，

所以平面,

所以,

因為,

所以平面,所以,

因為， ，所以,

所以,,

所以，

如圖，以為坐標原點，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，

則，

設，則

因為為棱上一動點在上，所以設，

所以，解得，

所以，,

設平面的法向量為，則,

所以

得，令，則，

所以

設平面的法向量為，則

所以，

令，則，得，

所以，

所以，

解得，

所以當點E在的中點時，二面角的余弦值為