Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是菱形，，是中點(diǎn)，，，平面平面.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）設(shè)，則，由余弦定理可知，再根據(jù)勾股定理可證，由題意易知，又平面平面 ，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)果；

（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式求出二面角的余弦值.

（1）證明：設(shè)，則，

由題意得，

，，

是菱形，

∵平面平面 ，平面平面，

∴平面

（2）由（1）得，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸的正方向，的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則 ，∴

令，則，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則，∴，

令，則，

∴

又二面角為鈍二面角，

∴二面角的余弦值.