Question

【題目】已知a為實數，函數f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．
（1）求函數f（x）的極值；
（2）求證：當a＞ln2﹣1且x＞0時，ex＞2x﹣2a．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，

∴f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．

于是當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
f′（x）	﹣	0	+
f（x）	單調遞減	2（1﹣ln2+a）	單調遞增

故f（x）的單調遞減區間是（﹣∞，ln2），單調遞增區間是（ln2，+∞），

f（x）在x=ln2處取得極小值，極小值為f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a）

（2）證明：設g（x）=ex﹣2x+2a，x＞0，

于是g′（x）=ex﹣2，x＞0．

由（1）知，當x∈（0，ln2）時，g′（x）＜0，當x∈（ln2，+∞）時，g′（x）＞0，

g（x）最小值為g（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（a﹣ln2+1）．

于是當a＞ln2﹣1時，對任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（ln2）＞0．

從而，當a＞ln2﹣1且x＞0時，ex＞2x﹣2a

【解析】（1）由f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表討論能求出f（x）的單調區間及極值；（2）設g（x）=ex﹣2x+2a，x＞0，于是g′（x）=ex﹣2．由（1）知當a＞ln2﹣1時，g（x）最小值為g（ln2）=2（1﹣ln2+a）．于是當a＞ln2﹣1且x＞0時，都有g（x）＞0，即ex＞2x﹣2a．
【考點精析】通過靈活運用函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．