Question

已知數列{a_n}中，a₁＝2，n∈N^*，a_n＞0，數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a_n＋1＝.
(1)求{S_n}的通項公式；
(2)設{b_k}是{S_n}中的按從小到大順序組成的整數數列．
①求b₃；
②存在N(N∈N^*)，當n≤N時，使得在{S_n}中，數列{b_k}有且只有20項，求N的范圍．

Answer 1

（1）S_n＝1＋（2）①6②N∈[761，840]

(1)a_n＋1＝S_n＋1－S_n，
∴(S_n＋1－S_n)(S_n＋1＋S_n－2)＝2；即(S_n＋1)²－(S_n)²－2(S_n＋1－S_n)＝2，
∴(S_n＋1－1)²－(S_n－1)²＝2，且(S₁－1)²＝1，∴{(S_n－1)²}是首項為1，公差為2的等差數列，
∴S_n＝1＋.
(2)①n＝1時，S₁＝1＋1＝2＝b₁，n＝5時，S₅＝1＋3＝4＝b₂，n＝13時，S₁₃＝1＋5＝6＝b₃.
②∵2n－1是奇數，S_n＝1＋為有理數，則＝2k－1，
∴n＝2k²－2k＋1，當k＝20時，n＝761；當k＝21時，n＝841；
∴存在N∈[761，840]，當n≤N時，使得在{S_n}中，數列{b_k}有且只有20項．