Question

【題目】如圖，在直角梯形中，，，，，，點是線段的中點，將，分別沿，

向上折起，使，重合于點，得到三棱錐．試在三棱錐中，

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據勾股定理的逆定理，得出，而，根據線面垂直的判定定理證出平面，最后利用面面垂直的判定定理，即可證明平面平面；

（2）以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，根據空間坐標的運算可得出和平面的法向量，利用空間向量法求夾角的公式，即可求出直線與平面所成角的正弦值．

解：（1）由題知：在直角梯形中，

，

所以在三棱錐中，，

所以，

又因為，，

所以平面， 又因為平面，

所以，平面平面.

（2）由（1）知：，，又，

以為坐標原點，以的方向分別作為軸，軸，軸的正方向，

建立如圖空間直角坐標系，

所以，，，，

設為平面的法向量，

，，

由，可得，

令得：，

設直線與平面所成角為，所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.