Question

【題目】已知直線過坐標原點O且與圓相交于點A，B，圓M過點A，B且與直線相切．

（1）求圓心M的軌跡C的方程；

（2）若圓心在x軸正半軸上面積等于的圓W與曲線C有且僅有1個公共點．

（ⅰ）求出圓W標準方程；

（ⅱ）已知斜率等于的直線，交曲線C于E，F兩點，交圓W于P，Q兩點，求的最小值及此時直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）的最小值為，此時直線的方程為．

【解析】

（1）設，由題意結合圓的性質可得、，代入化簡即可得解；

（2）（ⅰ）設圓W與曲線C的公共點為，圓W的標準方程，由題意可得曲線C在T的切線l與圓W相切即，由直線垂直的性質及點在圓W上即可得解；

（ⅱ）設，，直線，聯立方程組結合弦長公式可得，由垂徑定理可得，確定m的取值范圍后，通過換元、基本不等式即可得解.

（1）由題意圓的圓心為，半徑為2，直線過坐標原點O，

所以坐標原點O為AB的中點，，

所以，

設，所以，

又因為圓M與直線相切，所以圓M的半徑，

所以，化簡得M的軌跡C的方程為；

（2）（ⅰ）由（1）知曲線C為，設，則，

設圓W與曲線C的公共點為，

則曲線C在T的切線l的斜率，

由題意，直線l與圓W相切于T點，

設圓W的標準方程為，則圓W的的圓心為，

則直線WT的斜率，

因為，所以，即 ，

又因為，所以，所以

令，則，所以

即，所以，

所以，，

從而圓W的標準方程為；

（ⅱ）設，，直線，

由得，所以，，

所以，

又因為圓W的圓心到直線的距離為，

所以，

所以，

由于與曲線C、圓W均有兩個不同的交點，，解得，

令，則，

則

，

當且僅當，即，亦時取等號，

當時，的最小值為，

此時直線的方程為.