Question

【題目】已知函數f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0 ， 且x0＞0，則a的取值范圍為（ ）
A.（﹣∞，﹣2）
B.（﹣∞，0）
C.（2，+∞）
D.（1，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：當a=0時，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=± ，函數f（x）有兩個零點，不符合題意，應舍去；

當a＞0時，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣ ）=0，解得x=0或x= ＞0，列表如下：

x	（﹣∞，0）	0	（0， ）		（ ，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，

不符合條件：f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，應舍去．

當a＜0時，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣ ）=0，解得x=0或x= ＜0，列表如下：

x	（﹣∞， ）		（ ，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

而f（0）=1＞0，x→+∞時，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，

∵f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，∴極小值f（ ）=a（ ）3﹣3（ ）2+1＞0，

化為a2＞4，

∵a＜0，∴a＜﹣2．

綜上可知：a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）．

故選：A．